Existem diversos procedimentos para a análise e dimensionamento de lajes em concreto armado. Dentre os vários disponíveis estão a teoria elástica, a teoria da análise limite e as modificações da teoria da análise limite. Esses procedimentos podem ser usados para determinar os deslocamentos e os esforços nas lajes e nos elementos de apoio, bem como determinar a capacidade de carga última da laje. Nesta série de artigos, irei explicar um pouco melhor este modelo, de modo a fornecer uma introdução e preparar o leitor para a pesquisa sobre o assunto em bibliografias mais especializadas.
- Análise de placas pela Teoria da Elasticidade (este artigo)
- Exemplo de aplicação utilizando séries trigonométricas
- Cálculo de lajes por meio de tabelas
Análise de placas pela Teoria da Elasticidade
A Teoria da Elasticidade, na qual foi inicialmente baseado o cálculo de placas, é, como o nome diz, uma teoria elástica, cujas hipóteses básicas variam de acordo com o tipo de placa considerada. No caso de placas de pouca espessura, como a maioria das lajes de edifícios, as hipóteses básicas, conforme TIMOSHENKO, S.P. & WOINOWSKY-KRIEGER, S. (1959) e SZILARD, Rudolph (1974), são as seguintes:
-
o material da placa é elástico, homogêneo e isotrópico;
-
a placa indeformada é plana;
-
a espessura (h) da placa é pequena em relação às outras dimensões (da ordem de 1/10);
-
as deformações angulares da superfície média são pequenas comparadas à unidade;
-
os deslocamentos dos pontos da superfície média são pequenos comparados com a espessura da placa (inferiores a 1/10, para que se possa considerar pequenas deformações);
-
as cargas dinâmicas ou estáticas são aplicadas perpendicularmente à superfície da placa;
-
a configuração deformada da placa é tal que linhas retas inicialmente perpendiculares à superfície média permanecem retas e perpendiculares;
-
as deformações devidas ao cisalhamento são desprezadas;
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a deformação da placa é produzida por deslocamentos dos pontos da superfície média perpendicular ao plano indeformado;
-
as tensões normais à superfície média são desprezíveis em relação às tensões no mesmo plano.
Usando estas hipóteses e considerando um elemento de placa de dimensões dx e dy submetido a uma carga distribuída q, o equilíbrio é obtido a partir dos esforços internos atuantes: momentos fletores mx e my, momentos de torção mxy e myx e esforços cortantes qx e qy , atuando nas faces do elemento.
Deste equilíbrio de forças, obtemos as equações abaixo, conhecidas como equações diferenciais das placas em regime elástico:
(I) | |
(II) | |
(III) | |
(IV) |
, onde q é a carga distribuída na placa por unidade de área, E o módulo de elasticidade do material da placa (módulo de Young), h a espessura da placa, υ o coeficiente de Poisson, e D a rigidez da placa, que é dada pela equação abaixo:
A equação (I) é a equação diferencial das placas, ou equação de Lagrange, em coordenadas cartesianas retangulares. Ela define o campo de deslocamentos da placa ω em função das coordenadas x,y, da carga q e da rigidez D da placa. Portanto, os deslocamentos da laje calculados pela Teoria da Elasticidade dependem da dimensão da placa, das condições de contorno, do carregamento, do módulo de elasticidade E do material (constante), da espessura da placa e do coeficiente de Poisson.
Uma outra equação importante é obtida a partir do equilíbrio de um elemento de placa, submetido a uma carga distribuída q. O equilíbrio é conseguido com os esforços internos atuantes: momentos fletores mx e my , os momentos de torção mxy e myx e os esforços cortantes qx e qy, atuando nas faces do elemento.
Obtém-se a equação (V), que estabelece o equilíbrio das placas. É muito importante notar que esta equação é independente do fato de a placa estar em regime elástico ou plástico, independente do coeficiente de Poisson e se a placa é isotrópica ou ortotrópica.
A solução exata fechada de placas, obtida algebricamente através da solução destas equações diferenciais, é restrita a poucos casos e, portanto, tem pouca finalidade prática. Outras soluções matemáticas numéricas disponíveis para o problema de placas são:
-
solução por séries simples;
-
solução por séries duplas trigonométricas (conhecida por solução de Navier).
No próximo artigo desta série, Exemplo de aplicação utilizando séries trigonométricas irei mostrar um exemplo de como este cálculo deve ser realizado.
Colaborador: Jano d'Araújo Coelho
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